미적분 예제

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2} - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

단계 1.1.1.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

단계 1.1.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (x - 4)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

단계 1.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x - 4)$ 입니다.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.5

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.6.1.2

$A (x - 4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.6.4

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

단계 1.1.6.4.2

$(B) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

단계 1.1.7

$- 4 A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x - 4 A$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 1.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 4 A$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$1 = - 4 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$- 4 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

단계 1.3.1.2

$- 4 A = 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

$- 4 A = 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

단계 1.3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

단계 1.3.1.2.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

단계 1.3.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- \frac{1}{4}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- \frac{1}{4}$ 로 바꿉니다.

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

단계 1.3.3

$0 = - \frac{1}{4} + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- \frac{1}{4} + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

단계 1.3.3.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{4}$ 를 더합니다.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

단계 1.3.4

연립방정식을 풉니다.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

단계 1.5.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

단계 1.5.3

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

단계 1.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

단계 1.5.5

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

단계 5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

단계 7

먼저 $u = x - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$x - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 7.1.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 7.2

$u = x - 4$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 - 4$

단계 7.3

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 2$

단계 7.4

$u = x - 4$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 - 4$

단계 7.5

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

단계 7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$3$ , $2$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

단계 9.2

$- 1$ , $- 2$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

단계 9.3

괄호를 제거합니다.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

단계 10.2

$\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

단계 10.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

단계 10.4

$\frac{1}{4}$ 와 $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

단계 11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

단계 11.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

단계 11.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 2$ 과 $0$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

소수 형태:

$- 0.27465307 \dots$

단계 13