미적분 예제

$y^{4} = 3 x y - 5$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (3 x y - 5)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y^{3} y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x y - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$3 (x y' + y) + 0$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x y') + 3 y + 0$

단계 3.4.2

$3 x y' + 3 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x y' + 3 y$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 y^{3} y' = 3 x y' + 3 y$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $3 x y'$ 를 뺍니다.

$4 y^{3} y' - 3 x y' = 3 y$

단계 5.2

$4 y^{3} y' - 3 x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$4 y^{3} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y^{3}) - 3 x y' = 3 y$

단계 5.2.2

$- 3 x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y^{3}) + y' (- 3 x) = 3 y$

단계 5.2.3

$y' (4 y^{3}) + y' (- 3 x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$

단계 5.3

$y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$ 의 각 항을 $4 y^{3} - 3 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$ 의 각 항을 $4 y^{3} - 3 x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (4 y^{3} - 3 x)}{4 y^{3} - 3 x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$4 y^{3} - 3 x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (4 y^{3} - 3 x)}{4 y^{3} - 3 x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$