미적분 예제

$\sin (4 x^{2} + 3 x)$

단계 1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x^{2} + 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{2} + 3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

단계 1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $4 x^{2} + 3 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + 3 \cdot 1)$

단계 2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + 3)$