미적분 예제

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.2

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.6

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.7.1

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.7.2

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.8

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sin (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.8.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.8.1.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 - 3 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.8.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\sin (- 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.8.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.2.8.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{- 1 + 1}$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{2} + 3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x^{2} + 3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.9

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.11

$4 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 1.3.12

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

단계 1.3.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

단계 1.3.14

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + 0}$

단계 1.3.15

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1}$

단계 1.4

$\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.3

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\cos (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.5

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.7

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

단계 2.8

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3)$

단계 2.9

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

단계 2.10

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

단계 3.2

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

단계 3.3

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\cos (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (2 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4.1.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\cos (2 - 3 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\cos (- 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos (0) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1 \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

단계 4.5

$4 \cdot - 1 + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cdot - 1 + 3$

단계 4.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 + 3$

단계 4.7

$- 4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 1$