미적분 예제

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

단계 2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

단계 2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 4 u \sin (u) d u$

단계 3

$4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int u \sin (u) d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = \sin (u)$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

단계 6.2

$\int \cos (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

단계 7

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

단계 8

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ 을 $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\cos (\frac{x}{2})$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 10.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.1

$- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 10.3.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 10.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 10.3.4

수식을 다시 씁니다.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 10.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 10.5

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$