미적분 예제

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)}$

단계 1

$f (x) = 1 + \tan (x)$ , $g (x) = 1 + \cot (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 5

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 6

곱합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 6.2

$1 + \tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$\sec^{2} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.2

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.3

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.6

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.7

$\cos (x)$ 및 $\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.7.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.7.2.1

$\sin (x) \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.8

분수를 나눕니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.9

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.11

$\csc^{2} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.12

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.13

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.14

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.15

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.16

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.17

$\sin (x)$ 및 $\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.17.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.17.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.17.2.1

$\cos (x) \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.17.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.17.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.18

분수를 나눕니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.19

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.1.20

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.2

$\sec (x) \csc (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.3.3

$\csc (x) \sec (x)$ 를 $\csc (x) \sec (x)$ 에 더합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \csc (x) \sec (x) + \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 7.5.1

항을 다시 배열합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.5.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 \csc (x) \sec (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x)$

단계 7.5.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

단계 7.5.4

$a = \sec (x)$ 이고 $b = \csc (x)$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(\sec (x) + \csc (x))}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$