미적분 예제

$\int {(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} d x$

단계 1

$u = {(2 x + 3)}^{2}$ 이고 $d v = e^{x + 1}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - \int e^{x + 1} (8 x + 12) d x$

단계 2

$u = 8 x + 12$ 이고 $d v = e^{x + 1}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int e^{x + 1} \cdot 8 d x)$

단계 3

$e^{x + 1}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int 8 e^{x + 1} d x)$

단계 4

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - (8 \int e^{x + 1} d x))$

단계 5

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{x + 1} d x)$

단계 6

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{u} d u)$

단계 7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$ 을 $(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$2 x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

단계 8.2.2

$2 x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

단계 8.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

단계 8.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{x + 1}) + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1}) - (- 8 e^{x + 1}) + C$

단계 10.2

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1} + C$

단계 10.3

$- (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - e^{x + 1} (8 x + 12) + 8 e^{x + 1} + C$