미적분 예제

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 1.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.5.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.6.1

$x^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.6.3

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.7.2

$e^{\frac{1}{x}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.7.3

$- 1 e^{\frac{1}{x}}$ 을 $- e^{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

단계 2.11.2

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

단계 2.12

간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

단계 2.12.2

$- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ 에서 $e^{\frac{1}{x}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.12.2.1

$- e^{\frac{1}{x}}$ 에서 $e^{\frac{1}{x}}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

단계 2.12.2.2

$- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ 에서 $e^{\frac{1}{x}}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

단계 2.12.2.3

$e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ 에서 $e^{\frac{1}{x}}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

단계 2.12.3

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

단계 2.12.4

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

단계 2.12.5

$- 1 (1) - (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

단계 2.12.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

단계 2.12.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

단계 2.12.8

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ 입니다.

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$