미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

단계 4

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 5.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 5.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$5 \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$5 \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 5.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 5.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

단계 6

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

단계 7

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 7.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 7.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 7.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 7.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 7.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

단계 8

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

단계 9

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 9.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 9.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 9.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 9.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

단계 9.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

단계 9.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 9.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 9.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 9.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

단계 10

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

단계 11

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 11.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 11.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 11.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 11.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 11.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 11.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 11.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

단계 12

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

단계 13

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 13.1

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

단계 13.2

$20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$60 \cdot 2 \cdot 0$

단계 13.3

$60$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$120 \cdot 0$

단계 13.4

$120$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$