미적분 예제

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- \frac{5}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{3} x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2.4

$- 4$ 와 $\frac{5}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2.5

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2.6

$\frac{- 20}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{5}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.3.3

$5$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.3.4

$\frac{5}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

단계 1.4

$\frac{4}{15}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{4}{15}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{4}{15}$ 입니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{5}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x^{4}}{4}$ 의 미분은 $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.3

$4$ 와 $\frac{5}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.4

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.5

$\frac{20}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.6

$20$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

$20 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.2.6.2.4

$5 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{20}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{20 x^{3}}{3}$ 의 미분은 $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

단계 2.3.4

$- 3$ 와 $\frac{20}{3}$ 을 묶습니다.

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

단계 2.3.5

$- 3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

단계 2.3.6

$\frac{- 60}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

단계 2.3.7

$- 60$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.7.1

$- 60 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

단계 2.3.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.7.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

단계 2.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

단계 2.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

단계 2.3.7.2.4

$- 20 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$