미적분 예제

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.2

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.4

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.4.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

단계 1.1.3.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

단계 1.1.3.1.3

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 1.1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.4

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.7

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 1.3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 1.3.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + 0}$

단계 1.3.11

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{x}$

단계 2.2

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.3

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.4

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.5

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x}$

단계 3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{1}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1 + \ln (1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (1 + \ln (1))$

단계 4.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

단계 4.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$