미적분 예제

$- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

단계 1

$- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{6} x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.6

$- 4$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$- \frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2 x^{3}}{3}$ 의 미분은 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.4

$- 3$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.5

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.7

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.7.1

$- 6 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.7.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.7.2.4

$- 2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

단계 2.2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 x^{2} + 2$ 입니다.

$- 2 x^{2} + 2$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 x^{2} + 2 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- 2 x^{2} = - 2$

단계 3.3

$- 2 x^{2} = - 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 2 x^{2} = - 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

단계 3.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$- 2$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 3.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 에 $1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

단계 4.1.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

단계 4.1.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

단계 4.1.2.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

단계 4.1.2.2.3

$- 1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{5}{6}$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $\frac{5}{6}$ 입니다.

$\frac{5}{6}$

단계 4.2

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 에 $1$ 을 대입하여 구한 점은 $(1, \frac{5}{6})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(1, \frac{5}{6})$

단계 4.3

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1.1

${(- 1)}^{4}$ 를 옮깁니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

단계 4.3.2.1.1.2

${(- 1)}^{4}$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1.2.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

단계 4.3.2.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

단계 4.3.2.1.1.3

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

단계 4.3.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

단계 4.3.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

단계 4.3.2.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

단계 4.3.2.2.3

$- 1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $\frac{5}{6}$ 입니다.

$\frac{5}{6}$

단계 4.4

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 1, \frac{5}{6})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 1, \frac{5}{6})$

단계 4.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

단계 6.2.1.2

$- 2$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

단계 6.2.2

$- 2.42$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 0.42$ 입니다.

$- 0.42$

단계 6.3

$- 1.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.42$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

단계 7.2.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 2$

단계 7.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 2$

단계 7.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 7.3

$0$ 에서의 이계도함수는 $2$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 1, 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, 1)$ 에서 증가함

단계 8

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

단계 8.2.1.2

$- 2$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

단계 8.2.2

$- 2.42$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (1.1) = - 0.42$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 0.42$ 입니다.

$- 0.42$

단계 8.3

$1.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.42$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 감소함

단계 9

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ 입니다.

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

단계 10