미적분 예제

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 2 y y'$

단계 2.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 y y' + 2 x$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x + y + 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

단계 3.4

$15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $15$ 입니다.

$2 + y' + 0$

단계 3.5

$2 + y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 + y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $y'$ 를 뺍니다.

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

단계 5.3

$2 y y' - y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

단계 5.3.2

$- y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

단계 5.3.3

$y' (2 y) + y' \cdot - 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

단계 5.4

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ 의 각 항을 $2 y - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ 의 각 항을 $2 y - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2 y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

단계 5.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

단계 5.4.3.3

$2 - 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

단계 5.4.3.3.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

단계 5.4.3.3.3

$2 (1) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

단계 7

수식에서 $x$ 에 $- 3$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

단계 8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

단계 8.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

단계 8.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

단계 8.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

단계 8.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{1}$

단계 8.3.2

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8$