미적분 예제

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

단계 1.2

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

단계 2

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.5

분수를 통분합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

단계 4.5.2

$\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

단계 4.5.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

단계 5.2

$- x e^{- x} - e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$- x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

단계 5.2.2

$- e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

단계 5.2.3

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

단계 5.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

단계 5.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

단계 5.5

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

단계 5.6

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

단계 5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

단계 5.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

단계 5.9

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$