미적분 예제

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{3} - 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 8$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

단계 1.2.3

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

단계 1.2.4

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

단계 1.3.2

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

단계 3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

단계 4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

단계 5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

단계 6

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$y' (2) = 12 e^{0}$

단계 7

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$y' (2) = 12 \cdot 1$

단계 8

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (2) = 12$