미적분 예제

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $b$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(x - b)}^{10}$ 의 지수 $10$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.3

$x$ 가 $b$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 $b$ 에 가까워질 때 상수값 $b$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.5

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.6

$x$ 가 $b$ 에 가까워질 때 상수값 $4 b$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $b$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.7.1

$x$ 에 $b$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.7.2

$x$ 에 $b$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.8

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1

${(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.1.2.8.1.1

$b$ 에서 $b$ 을 뺍니다.

$\frac{0^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.8.1.2

$- 4 b$ 를 $4 b$ 에 더합니다.

$\frac{0^{10} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.8.1.3

$0^{10}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0^{10}}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.2.8.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $b$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 가 $b$ 에 가까워질 때 상수값 $b$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $b$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{b - b}$

단계 1.1.3.3

$b$ 에서 $b$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 ${(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (x) = x^{10}$ , $g (x) = x - b$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - b$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.1.2

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 u^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $x - b$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.2

합의 법칙에 의해 $x - b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.4

$- b$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- b$ 입니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.3.6

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.4.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.5

$4 b$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 b$ 입니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.6

$10 {(x - b)}^{9} - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

단계 1.3.7

합의 법칙에 의해 $x - b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

단계 1.3.9

$- b$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- b$ 입니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + 0}$

단계 1.3.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1}$

단계 1.4

$10 {(x - b)}^{9} - 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - 4$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $b$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

단계 2.2

$10$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$10 lim_{x \to b} {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

단계 2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(x - b)}^{9}$ 의 지수 $9$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

단계 2.4

$x$ 가 $b$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$10 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

단계 2.5

$x$ 가 $b$ 에 가까워질 때 상수값 $b$ 의 극한을 구합니다.

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

단계 2.6

$x$ 가 $b$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

단계 3

$x$ 에 $b$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$10 {(b - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$b$ 에서 $b$ 을 뺍니다.

$10 \cdot 0^{9} - 1 \cdot 4$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$10 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

단계 4.2.2

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 1 \cdot 4$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 - 4$

단계 4.3

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 4$