미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.4

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.5

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.6

$10$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.7.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.8.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{2 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8.1.4

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8.1.5

$- 10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.2.8.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

단계 1.1.3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

단계 1.1.3.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3.4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

단계 1.1.3.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

단계 1.1.3.5.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 + 0}$

단계 1.1.3.5.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.5.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.6

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.4.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.5.3

$- 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 1.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 1.3.8

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \cdot 1}$

단계 1.3.8.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2}$

단계 1.4

$6 x^{2} + 10 x - 10$ 및 $2 x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 10 x - 10}{2 x + 2}$

단계 1.4.2

$10 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) - 10}{2 x + 2}$

단계 1.4.3

$2 (3 x^{2}) + 2 (5 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) - 10}{2 x + 2}$

단계 1.4.4

$- 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 \cdot - 5}{2 x + 2}$

단계 1.4.5

$2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 (- 5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 x + 2}$

단계 1.4.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2}$

단계 1.4.6.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2 (1)}$

단계 1.4.6.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

단계 1.4.6.4

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

단계 1.4.6.5

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 5}{x + 1}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 5 x - 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 2.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 2.5

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 2.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 2.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

단계 2.8

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

단계 3.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

단계 4.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

단계 4.1.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 - 5}{0 + 1}$

단계 4.1.5

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0 - 5}{0 + 1}$

단계 4.1.6

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5}{0 + 1}$

단계 4.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 5}{1}$

단계 4.3

$- 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 5$