미적분 예제

$3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 1$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.2.2

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 x y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ 입니다.

$6 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.3.2

$f (y) = x$ , $g (y) = y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d y} [5 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $5 y^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$6 x x' - 2 (x + y x') + 5 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x x' - 2 (x + y x') + 5 (2 y)$

단계 2.4.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$6 x x' - 2 (x + y x') + 10 y$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x x' - 2 x - 2 (y x') + 10 y$

단계 2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 x x' - 2 x - 2 y x' + 10 y$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$6 x x' - 2 y x' - 2 x + 10 y$

단계 3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$6 x x' - 2 y x' - 2 x + 10 y = 0$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$x'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$6 x x' - 2 y x' + 10 y = 2 x$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $10 y$ 를 뺍니다.

$6 x x' - 2 y x' = 2 x - 10 y$

단계 5.2

$6 x x' - 2 y x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$6 x x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (3 x) - 2 y x' = 2 x - 10 y$

단계 5.2.2

$- 2 y x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (3 x) + 2 x' (- y) = 2 x - 10 y$

단계 5.2.3

$2 x' (3 x) + 2 x' (- y)$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$

단계 5.3

$2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$ 의 각 항을 $2 (3 x - y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$ 의 각 항을 $2 (3 x - y)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x' (3 x - y)}{2 (3 x - y)} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x' (3 x - y)}{2 (3 x - y)} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (3 x - y)}{3 x - y} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.2.2

$3 x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (3 x - y)}{3 x - y} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.3.1.2

$- 10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1.2.1

$- 10 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (3 x - y)}$

단계 5.3.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{- 5 y}{3 x - y}$

단계 5.3.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = \frac{x}{3 x - y} - \frac{5 y}{3 x - y}$

단계 5.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{x - 5 y}{3 x - y}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x - 5 y}{3 x - y}$