미적분 예제

$y = x y^{2} + 4 x - y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x y^{2} + 4 x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.6

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

단계 5.2

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $y'$ 를 뺍니다.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

단계 5.2.2

$- y'$ 에서 $y'$ 을 뺍니다.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

단계 5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

단계 5.3.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

단계 5.4

$2 x y y' - 2 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$2 x y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

단계 5.4.2

$- 2 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

단계 5.4.3

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

단계 5.5

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ 의 각 항을 $2 (x y - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ 의 각 항을 $2 (x y - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.2.2

$x y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.1.2

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.1.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

단계 5.5.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

단계 5.5.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{x y - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 5.5.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 (x y - 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.5.3.3.1

$\frac{2}{x y - 1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

단계 5.5.3.3.2

$(x y - 1) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.6

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.7

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.8

$- (y^{2}) - 1 (4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.9.1

$- (y^{2} + 4)$ 을 $- 1 (y^{2} + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

단계 5.5.3.9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$