미적분 예제

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

단계 1

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

$(x + 1) e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 1 (x + 1)$ 을 $- (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.7.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2

$- e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.5

$- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- e^{- x} x$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2

$- 2 e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.7

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.8

$- (x) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.9

$- (x + 2)$ 을 $- 1 (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$