미적분 예제

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$

단계 1

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} (x - 4) d x$

단계 4

$u = x - 4$ 이고 $d v = \sqrt[3]{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x - 4) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{3}{4}$ 와 $x^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

단계 5.2

$\frac{3}{4}$ 와 $x^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} d x$

단계 6

$\frac{3}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{4}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ 을 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{3}{7}$ 와 $x^{\frac{7}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

단계 8.2.2

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{7 \cdot 4} + C$

단계 8.2.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

단계 8.2.4

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $28$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 8.2.6.1

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ 에 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.6.2

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{28} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7 - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.8

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{21 x^{\frac{7}{3}} - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.9

$21 x^{\frac{7}{3}}$ 에서 $9 x^{\frac{7}{3}}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

단계 8.2.10

$12 x^{\frac{7}{3}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{28} + C$

단계 8.2.11

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.11.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 (7)} + C$

단계 8.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7} + C$

단계 8.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9

답은 함수 $f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$