미적분 예제

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9}$

단계 1

$f (x) = 10^{x}$ , $g (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

단계 1.2

$a$ = $10$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 9]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4 x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 2.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

단계 2.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [9])$

단계 2.6

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x + 0)$

단계 2.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$3 x^{2} - 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x)$

단계 2.7.2

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} \ln (10) (3 x^{2} - 8 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$10^{x^{3} - 4 x^{2} + 9} (3 x^{2} - 8 x) \ln (10)$