미적분 예제

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

단계 1

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 9} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 3 \tan (t)$ 라고 하면 $d x = 3 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$3 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.2

$9 \tan^{2} (t) + 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$9 \tan^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.2.2

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.2.3

$9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.4

$9 \sec^{2} (t)$ 을 ${(3 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}} (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3 \tan (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int {(3 (\tan (t)))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2.2

$3 (\tan (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int 3^{3} \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int 27 \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2.4

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\int 81 \tan^{3} (t) \sec (t) (3 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2.5

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.6

지수를 더하여 $\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$\sec^{2} (t)$ 를 옮깁니다.

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.6.2

$\sec^{2} (t)$ 에 $\sec (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

단계 5.2.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 243 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

단계 5.2.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 6

$243$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $243$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$243 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 7

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$243 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 8

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$243 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 9

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 9.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

단계 10

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 을 곱합니다.

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- 1 u^{2}$ 을 $- u^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 11.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 11.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

단계 12

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

단계 13

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

단계 14

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

단계 15

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 16.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

단계 16.2

간단히 합니다.

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

단계 17

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$u$ 를 모두 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

단계 17.2

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{3}))) + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

단계 19

답은 함수 $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$