미적분 예제

$\frac{5 \sqrt{x}}{x}$

단계 1

$\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{5 \sqrt{x}}{x}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

단계 4

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

단계 5.2.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.2.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

단계 5.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

단계 5.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

단계 5.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

단계 5.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 5.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 5.3.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 5.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $5 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 7.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$10 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8

답은 함수 $f (x) = \frac{5 \sqrt{x}}{x}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $10 x^{\frac{1}{2}} + C$