미적분 예제

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{\frac{1}{5}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.6.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.8

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.9

$2$ 와 $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

단계 1.3.2

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{2}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 의 미분은 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ 입니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 을 ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$\frac{4}{5} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.2.2.1

$\frac{4}{5}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

단계 2.2.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

단계 2.3

$n = - \frac{4}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

단계 2.7.2

$- 4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{9}{5}}$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

단계 2.10

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

단계 2.11

곱합니다.

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단계 2.11.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

단계 2.11.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

단계 2.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{9}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$