미적분 예제

$y = 10^{x^{2} - 1}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (10^{x^{2} - 1})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = 10^{x}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 3.1.2

$a$ = $10$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x + 0)$

단계 3.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x)$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$10^{x^{2} - 1} \ln (10) (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \cdot 10^{x^{2} - 1} x \ln (10)$

단계 3.3.2

$2 \cdot 10^{x^{2} - 1} x \ln (10)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x \cdot 10^{x^{2} - 1} \ln (10)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 x \cdot (10^{x^{2} - 1} \ln (10))$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot (10^{x^{2} - 1} \ln (10))$