미적분 예제

$2 x^{10} - x^{6} + 5 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{10} - x^{6} + 5 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{10}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{10}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.2.3

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$20 x^{9} + \frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{6}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$20 x^{9} - \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 x^{9} - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.3.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$20 x^{9} - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$20 x^{9} - 6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 x^{9} - 6 x^{5} + 5 (2 x)$

단계 1.4.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{9} - 6 x^{5} + 10 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $20 x^{9} - 6 x^{5} + 10 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [20 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [20 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{9}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{9}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.2.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.2.3

$9$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$180 x^{8} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{5}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$180 x^{8} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$180 x^{8} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.3.3

$5$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$180 x^{8} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$180 x^{8} - 30 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$180 x^{8} - 30 x^{4} + 10 \cdot 1$

단계 2.4.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 180 x^{8} - 30 x^{4} + 10$