미적분 예제

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

단계 1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = - \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

단계 1.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

단계 1.3.2

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.3

$\frac{- 2}{2}$ 와 $\sin (- \frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.4.1

$- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.4.2.4

$- \sin (- \frac{x}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (- \frac{x}{2})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\sin (- \frac{x}{2})$ 은(는) 기함수이므로 $\sin (- \frac{x}{2})$ 을(를) $- \sin (\frac{x}{2})$ (으)로 다시 씁니다.

$- - \sin (\frac{x}{2})$

단계 1.4.2

$- - \sin (\frac{x}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \sin (\frac{x}{2})$

단계 1.4.2.2

$\sin (\frac{x}{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{x}{2})$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

단계 2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

단계 2.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

단계 4

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{x}{2} = 0$

단계 6

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 7

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{x}{2} = π - 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

단계 8.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 (π - 0)$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 9

방정식 $\frac{x}{2} = 0$ 의 해.

$x = 0, 2 π$

단계 10

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

단계 11.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

단계 11.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

단계 11.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

단계 11.1.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (0)}{2}$

단계 11.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 12

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 13

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

단계 13.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = - 2 \cos (0)$

단계 13.2.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = - 2 \cdot 1$

단계 13.2.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = - 2$

단계 13.2.5

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$y = - 2$

단계 14

$x = 2 π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

단계 15

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

단계 15.1.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (π)}{2}$

단계 15.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

단계 15.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

단계 15.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{2}$

단계 15.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 16

이계도함수가 음수이므로 $x = 2 π$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2 π$ 은 극대값입니다

단계 17

$x = 2 π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2 π$ 을 대입합니다.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

단계 17.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

단계 17.2.1.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

단계 17.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

단계 17.2.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

단계 17.2.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

단계 17.2.4.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (2 π) = 2$

단계 17.2.5

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 18

$f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ 에 대한 극값입니다.

$(0, - 2)$ 은 극솟값임

$(2 π, 2)$ 은 극댓값임

단계 19