미적분 예제

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

단계 1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$- 2 \csc (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

단계 2.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \csc (2 x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

단계 2.1.3

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.3.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.4

미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.4.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

단계 2.1.4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.4.5.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

단계 2.1.4.5.2

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

단계 3

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 5

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

단계 7

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 \csc (2 x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$