미적분 예제

$y' = x + y$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

단계 2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

단계 3

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 3.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 4

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

단계 4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

단계 4.3

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

단계 5

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

단계 6

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

단계 7

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

단계 8

우변을 적분합니다.

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단계 8.1

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

단계 8.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

단계 8.3

간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

단계 8.3.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

단계 8.4

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.4.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.4.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 8.4.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 8.4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 8.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

단계 8.5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

단계 8.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

단계 8.7

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ 을 $- x e^{- x} - e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

단계 8.8

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

단계 9

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9.3.1.1.2

$- x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9.3.1.2

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9.3.1.2.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$