미적분 예제

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

단계 1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

단계 2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

단계 4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

단계 4.2

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.3

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

단계 5

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{- 2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 6.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

단계 6.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

단계 6.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

단계 6.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

단계 6.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 8.1.2

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 8.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

단계 8.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

단계 8.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ 와 $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$e$ , $1$ 일 때, $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

단계 10.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$\ln (1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

단계 10.2.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

단계 10.2.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

단계 10.2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- (- \ln (1) - 1)$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

단계 10.2.2.5

$- (- \ln (1) - 1)$ 와 $\frac{e}{e}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

단계 10.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

단계 10.2.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- e^{- 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

단계 10.2.2.8

$- e^{- 1}$ 와 $\frac{e}{e}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

단계 10.2.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

단계 10.2.2.10

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

단계 10.2.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

단계 10.2.2.12

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

단계 10.2.2.13

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

단계 10.2.2.14

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

단계 10.2.2.15

$- 2$ 와 $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

단계 10.2.2.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

단계 11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

단계 11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

단계 11.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

단계 11.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

단계 11.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

단계 11.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

단계 11.6

$e$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

단계 11.7

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

소수 형태:

$- 0.52848223 \dots$