미적분 예제

$y = \ln (| \sin (x) |)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | \sin (x) |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| \sin (x) |$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $| \sin (x) |$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

단계 3.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.3

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ 에 $\frac{1}{| \sin (x) |}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.6

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.9

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

단계 3.10

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

단계 3.11

간단히 합니다.

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단계 3.11.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

단계 3.11.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 3.11.3

$\sin (x)$ 및 $\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.3.1

$\cos (x) \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 3.11.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.3.2.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

단계 3.11.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

단계 3.11.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 3.11.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\cot (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \cot (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$