미적분 예제

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{1}{2^{4 x}}$ 을 ${(2^{4 x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

단계 3.1.2

${(2^{4 x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

단계 3.2

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = - 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 3.2.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $- 4 x$ 로 바꿉니다.

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

단계 3.3.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

단계 3.3.3.2

$2^{- 4 x} \ln (2)$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

단계 3.3.3.3

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

단계 3.3.3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$