미적분 예제

$y = - {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = - 2 x^{2} + 5 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ 로 바꿉니다.

$- (4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 ({(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.6

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.8

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + 0)$

단계 3.3.10

$- 4 x + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$