미적분 예제

$y = \sqrt{2 p x}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 p x}$ 을(를) ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$2 p x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2.2

$2 (p x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3

$2^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = p x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $p x$ 로 바꿉니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $p x$ 로 바꿉니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

단계 10

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 11

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 12

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 12.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 12.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 12.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 12.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

단계 13

$p$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $p x$ 의 미분은 $p \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

단계 14

$p$ 와 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 16

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

$p x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

단계 17.2

항을 묶습니다.

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단계 17.2.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $p^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.2

지수를 더하여 $p$ 에 $p^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.2.2.1

$p$ 에 $p^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.2.2.1.1

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$