미적분 예제

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

단계 1

$f (x) = 1 + \ln (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - (1 + \ln (x))}{x^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 5.2.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 5.2.3

$0$ 에서 $\ln (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{- \ln (x)}{x^{2}}$

단계 5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{x^{2}}$