미적분 예제

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

단계 1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

단계 2

먼저 $u = \csc (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = \csc (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\csc (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

단계 2.1.2

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$- \csc (x) \cot (x)$

단계 2.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \cot (x) \csc (x)$

단계 2.2

$u = \csc (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

단계 2.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

단계 2.4

$u = \csc (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

단계 2.5

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

단계 3

$- 1 u$ 을 $- u$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1$ , $\sqrt{2}$ 일 때, $\frac{u^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

단계 8.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

단계 8.2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

단계 8.2.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

단계 8.2.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

단계 8.2.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

단계 8.2.2.5

지수값을 계산합니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

단계 8.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

단계 8.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

단계 8.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

단계 8.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

단계 8.2.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

단계 8.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 8.2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{1 - 2}{2}$

단계 8.2.8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 (\frac{- 1}{2})$

단계 8.2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (- \frac{1}{2})$

단계 8.2.10

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{2})$

단계 8.2.11

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{2}$

단계 8.2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{3}{2}$

소수 형태:

$- 1.5$

대분수 형식:

$- 1 \frac{1}{2}$