미적분 예제

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4$ 및 $6 - 2 x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

단계 3.1.2.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

단계 3.1.2.3

$2 (3) + 2 (- x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

단계 3.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

단계 3.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 로 바꿉니다.

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단계 3.2.3.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.3.2.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.3.2.3

$2 (3) + 2 (- x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.3.2.4

공약수로 약분합니다.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.2.3.2.5

수식을 다시 씁니다.

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ 입니다.

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

단계 3.3.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

단계 3.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.2

$3 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.3

합의 법칙에 의해 $3 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.7

곱합니다.

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단계 3.5.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.7.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.7

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.8

$\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

단계 3.9

$2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.2

$2 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6

항을 묶습니다.

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단계 3.10.6.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.2

$6$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.7

$- 2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.8

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.9

$- 20 x^{3}$ 를 $20 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.10

$60 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.11

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.12

${(x^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.10.6.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.12.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.13

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ 에 $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.14

$16$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.15

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

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단계 3.10.6.15.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.15.2

$x^{8}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.6.15.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.15.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.15.3

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.10.6.16

지수를 더하여 ${(3 - x^{2})}^{2}$ 에 ${(3 - x^{2})}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.6.16.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

단계 3.10.6.16.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

단계 3.10.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$