미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.8

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.9

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x - 2)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

단계 1.3.2

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

단계 2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.2.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

단계 2.3.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

단계 2.3.6.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

단계 2.4.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 x - 6$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.8

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.2.9

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x - 2)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

단계 4.1.3.2

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 5.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 5.3.1.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

단계 5.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 5.3.2

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 5.3.3

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 2$

단계 8

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$3 (2) - 6$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 - 6$

단계 9.2

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 의 $(- \infty, 2)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

단계 10.2.2.1.2

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

단계 10.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (0) = \frac{12}{2}$

단계 10.2.2.2.2

$12$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (0) = 6$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 10.3

1차 도함수 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ 의 $(2, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

단계 10.3.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

단계 10.3.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = \frac{12}{2}$

단계 10.3.2.2.2

$12$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (4) = 6$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 10.4

1차 도함수의 부호가 $x = 2$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.5

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 11