미적분 예제

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

단계 1.2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

단계 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

단계 2.9

$2$ 와 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 4.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 4.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

단계 4.1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

단계 4.1.2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

단계 4.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 입니다.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x = 0$

단계 5.3

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 9.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 9.1.3

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 9.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{1^{2}}$

단계 9.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{1}$

단계 9.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \ln (0 + 1)$

단계 11.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = \ln (1)$

단계 11.2.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (0) = 0$

단계 11.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 12

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극솟값임

단계 13