미적분 예제

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

단계 1

먼저 $u_{1} = \ln (y)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ 이므로 $y d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = \ln (y)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\ln (y)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

단계 1.1.2

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$\frac{1}{y}$

단계 1.2

$u_{1} = \ln (y)$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (1)$

단계 1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = \ln (y)$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (e)$

단계 1.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

단계 2

먼저 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$1 + u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + u_{1}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 2.1.3

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u_{2} = 1 + u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u_{2} = 1 + u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 2.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

단계 4

$2$ , $1$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 5

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

단계 6.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{2}{1})$

단계 6.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (2)$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (2)$

소수 형태:

$0.69314718 \dots$