미적분 예제

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (2 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 입니다.

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 1.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

단계 1.3.6

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

단계 1.3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (2 x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.6

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (2 x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 입니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

단계 2.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.3.7

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ 입니다.

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$