미적분 예제

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 6$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x - 6$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - 6$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 1.1.4

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

단계 2

$(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 2.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 2.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 2.7

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 2.8

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

단계 2.9

$12 u^{2}$ 를 $u^{2}$ 에 더합니다.

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

단계 4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

단계 6

$13$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $13$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 8.2.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 8.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 8.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 8.2.3

$13$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$