미적분 예제

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 7 x + 5 x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

단계 3.1.2

$5 x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

단계 3.1.3

$x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 5

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 6

먼저 $u = - 9 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 9 d x$ 이므로 $- \frac{1}{9} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = - 9 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$- 9 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 6.1.2

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 9 \cdot 1$

단계 6.1.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 9$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 7.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 9

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 10

$\frac{1}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{9}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 11.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 11.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 11.3

$\int e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

단계 13

$- 7$ 와 $5 x^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

단계 14

$5 x^{4} - 7$ 을 $x$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

단계 14.2

피제수 $5 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

단계 14.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

단계 14.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x^{4} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

단계 14.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

단계 14.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

단계 14.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

단계 15

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

단계 16

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

단계 17

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

단계 18

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

단계 19

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

단계 20

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 21

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

단계 22

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

단계 23

간단히 합니다.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

단계 24

$u$ 를 모두 $- 9 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

단계 25

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

단계 26

답은 함수 $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$