미적분 예제

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

단계 5

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

단계 5.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 ${(x + 1)}^{2}$ 입니다.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

단계 5.1.4

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

단계 5.1.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

단계 5.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

단계 5.1.5.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

단계 5.1.5.2

${(x + 1)}^{2}$ 및 $x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.2.1

$(B) {(x + 1)}^{2}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

단계 5.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

단계 5.1.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

단계 5.1.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

단계 5.1.5.2.2.4

$B (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = A + B (x + 1)$

단계 5.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = A + B x + B \cdot 1$

단계 5.1.5.4

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = A + B x + B$

단계 5.1.6

$A$ 와 $B x$ 을 다시 정렬합니다.

$x = B x + A + B$

단계 5.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = B$

단계 5.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 5.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = B$

$0 = A + B$

$1 = B$

$0 = A + B$

단계 5.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$B = 1$

$0 = A + B$

단계 5.3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$0 = A + B$ 의 $B$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$0 = A + 1$

$B = 1$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

단계 5.3.3

$0 = A + 1$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$A + 1 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + 1 = 0$

$B = 1$

단계 5.3.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

단계 5.3.4

연립방정식을 풉니다.

$A = - 1 B = 1$

단계 5.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = - 1, B = 1$

단계 5.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

단계 5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 8

먼저 $u_{1} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{1} = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 8.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 9

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

${u_{1}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 (- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 9.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 9.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{- 2}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{1}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 11

먼저 $u_{2} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 11.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 11.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 11.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 12

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C)$

단계 13

간단히 합니다.

$2 (\frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |)) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| u_{2} |)) + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$