미적분 예제

$y = \frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = 1 + 3 x$ , $g (x) = 2 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(2 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.5

$2 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) \cdot 1 - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.8

합의 법칙에 의해 $2 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.9

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.12

곱합니다.

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단계 3.2.12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 1 (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.12.2

$1 + 3 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.14

$1 + 3 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 2 \cdot (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + (2 \cdot 1 + 2 (3 x)) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.4.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 (x \cdot x))}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4.1.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 6 x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4.2

$- 3 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{6 + 3 x^{2} + 2 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$