미적분 예제

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2} - 5 x^{- \frac{5}{2}})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{- 2} - 5 x^{- \frac{5}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{- 2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

단계 2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

단계 2.3

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{- \frac{5}{2}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$ 입니다.

$8 x^{- 3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

단계 3.2

$n = - \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

단계 3.6.2

$- 5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

단계 3.8

$x^{- \frac{7}{2}}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

단계 3.9

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 3} + 5 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

단계 3.10

$5$ 와 $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x^{- 3} + \frac{5 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

단계 3.11

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 3} + \frac{25 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

단계 3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{7}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 x^{- 3} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.2

$8$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$