미적분 예제

$\frac{9}{\sqrt[3]{x + 1}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

단계 1.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

단계 1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 1.3.2

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

단계 1.3.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

단계 1.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.2

$n = - \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 8

${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$9 (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 9.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 9 (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 10

$\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 와 $- 9$ 을 묶습니다.

$\frac{- 9}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 11

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 14

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 16

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

단계 17

식을 간단히 합니다.

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단계 17.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

단계 17.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$