미적분 예제

$\int x e^{- x^{2}} d x$

단계 1

해당 적분은 부분적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

먼저 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$e^{- x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.3

미분합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

단계 2.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} u_{2} + C$

단계 5

$u_{2}$ 를 모두 $e^{- x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$