미적분 예제

$\int \frac{14}{\sqrt[3]{3 x + 1}} d x$

단계 1

$14$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $14$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x + 1}} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 + 0$

단계 2.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

단계 3.2

$\sqrt[3]{u}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$14 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$14 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

단계 5

분수를 통분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $14$ 을 묶습니다.

$\frac{14}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{14}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 5.2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{14}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

단계 5.2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{14}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{14}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

단계 5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{14}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{14}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{14}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 을 $\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{14}{3}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.2

$14$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{42}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{42}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.4

$42$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.1

$42$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 \cdot 7}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 7.2.4.2.4

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$7 {(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$